Los gases logarítmicos proporcionan un marco unificador para estudiar fenómenos colectivos en dos dimensiones, en los que las interacciones entre sus constituyentes tienen una forma logarítmica [1, 2]. Este tipo de gases aparece en plasmas clásicos —donde la materia de vórtices y las gotas del efecto Hall cuántico presentan interacciones logarítmicas— y en las distribuciones de valores propios de matrices aleatorias no hermíticas [3], cuyos valores propios se comportan como cargas puntuales que se repelen entre sí mediante un potencial logarítmico.

Estudiamos la dinámica de un gas log-Coulomb compuesto por (N) partículas cargadas confinadas a un círculo unitario y acopladas a un baño térmico caracterizado por un parámetro efectivo adimensional (\beta=q_0^2/(k_BT)), donde (q_0) es la carga por partícula, (T) es la temperatura del baño y (k_B) es la constante de Boltzmann. Utilizando un modelo de fermiones libres para (\beta=2), obtenemos una expresión analítica para la función de correlación de dos puntos en el caso más sencillo, (N=2), y posteriormente extendemos nuestro análisis a (N>2), tanto numérica como analíticamente. Al variar (\beta), mostramos que una ley temporal logarítmica de escalamiento gobierna la evolución temporal de este proceso, y verificamos la validez de la conjetura de Wigner para (\beta\geq1) mediante la comparación con los correspondientes ensambles gaussianos para tiempos mayores que el tiempo de relajación, (\tau\geq\tau_{\mathrm{Eq}}), es decir, una vez que el sistema ha alcanzado el equilibrio térmico.

Además, analizamos la dinámica fuera del equilibrio del gas log-Coulomb en presencia de eventos de fusión entre las partículas [4]. Partiendo de cargas unitarias ((q_0=1)) y de (N_0=100) partículas iniciales, introducimos un nuevo parámetro, la longitud de fusión (l_f), que nos permite controlar la región espacial en la que ocurren los eventos de fusión durante las simulaciones. Para esta nueva dinámica, el tiempo de inicio de la formación de cúmulos y la población máxima de los cúmulos siguen un comportamiento dado por (\ln(t’)\sim\beta e^{bk}).

Finalmente, utilizando el formalismo de matrices aleatorias, dotamos a los elementos de una matriz aleatoria extraída del ensamble unitario gaussiano de una dinámica de movimiento browniano de Dyson. Inicializamos la dinámica de los valores propios con todos ellos concentrados en el origen, excepto un valor propio atípico (outlier). Resolvemos exactamente la dinámica, lo que nos permite estudiar el comportamiento de escalamiento dinámico en la transición de Baik–Ben Arous–Péché y en sus proximidades. Curiosamente, mientras que las propiedades estáticas son bien conocidas y pueden abordarse mediante las integrales de Hikami–Brézin, nuestro enfoque de la dinámica se basa explícitamente en el uso de polinomios ortogonales.