Aplicaciones de algoritmos cuánticos en la resolución de problemas algebraicos

Proyecto teórico/computacional, Pregrado Física, Universidad de los Andes (2021)

La computación cuántica ha desarrollado, en las últimas decadas, varias herramientas útiles para la resolución de problemas algebraicos basadas en los postulados de la mecánica cuántica, así como a partir de conceptos fundamentales de la física estadística. La posibilidad de crear computadores cuyo funcionamiento está basado en las leyes de la física cuántica, por oposición a la física clásica, ha despertado un gran interés y se ha convertido en un importante tema de investigación científica. Como ejemplos meritorios, los algoritmos de Deustch-Josza, Grover y Shor llegan a soluciones específicas de situaciones planteables dentro de la teoría de la mecánica estadística y la experimentación, de manera que un análisis detallado de las propiedades más relevantes de cada uno de estos permitiría extraer nueva información correspondiente al manejo y desarrollo de los algoritmos cuánticos. En este sentido, este proyecto teórico/computacional pretende investigar las técnicas usadas en los algoritmos cuánticos para
solucionar problemas numéricos, polinomiales y probabilísticos, con respecto a implementaciones básicas de circuitos cuánticos en unidades de procesamiento clásico y cuántico. Más aún, con objeto de evaluar el poder computacional de cada algoritmo desarrolado, la cuantificación de la precisión y de los tiempos de procesamientos resulta esencial para la comprensión de un análisis concreto. Los resultados de este proyecto mostraron que los métodos de amplificación
de amplitud, la técnica de búsqueda no estructurada, el método de estimación de fase y la transformada cuántica de Fourier determinan las operaciones algebraicas y cuánticas más importantes de los algoritmos de Deustch-Josza, Grover y Shor. Desde ejemplos que van desde el experimento de doble rendija hasta las transformaciones de estados cuánticos por medio de sus fases, se verifica cómo la superposición de estados y el concepto de paralelismo cuántico resulta fundamental en el análisis y el cómputo de las amplitudes de probabilidad de cada cubit. En particular, el algoritmo de Shor permitió la factorización de los números N = 15, N = 35 y N = 65 para ambas unidades de procesamiento, a pesar de remarcadas diferencias en la probabilidad de éxito y los tiempos de ejecución de cada sistema. La aplicabilidad de los algoritmos cuánticos en computadores clásicos, a pesar de errores computacionales, es coherente y permite llegar a resultados con precisión cercana a 0,5. No obstante, la simulación del circuito cuántico implementado determina tiempos de ejecución polinomiales, como se esperaba. En conclusión, los algoritmos cuánticos construidos para la resolución de problemas algebraicos son extrapolables a una gran variedad de sistema físicos, ya sean clásicos o cuánticos, y pueden reproducir, con buena precisión, resultados en tiempos de ejecución realizables.


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