Las matrices aleatorias, acuñadas por Eugene Wigner en los años 50 para modelar el espectro de niveles nucleares, constituyen hoy en día una herramienta esencial en física teórica y aplicada. A partir de los trabajos de Freeman Dyson y Madan Lal Mehta surgieron los ensambles clásicos (ortogonal, unitario y simplectico), parametrizados por el índice β, que describen familias de matrices cuyos elementos siguen distribuciones gaussianas y cuyas propiedades de valores propios revelan propiedades universales estadísticas. Estas técnicas han encontrado aplicaciones en teoría cuántica del caos, teoría de campos, materia condensada y teoría de la información, entre otros campos. Se proponen varios posibles proyectos, entre otros:
- Clasificación de ensambles, analizando cómo las simetrías que deben satisfacer las matrices.
- Solución analítica para β = 2, centrada en el ensamble unitario y su conexión con polinomios ortogonales y funciones de correlación.
- Dinámica estocástica, estudiando la evolución temporal de los autovalores bajo procesos de Dyson y sus implicaciones en difusión y transporte.
Bibliografía sugerida:
- M. L. Mehta, Random matrices, Academic press
- F. J. Dyson, A brownian-motion model for the eigenvalues of a random matrix, Journal of Mathematical Physics 3 (6) (1962) 1191–1198.
- P. J. Forrester, Log-gases and random matrices (LMS-34), Princeton university press, 2010
